Matematik för ingenjörer

 

Kapitel 1.  Elementärt om talen och funktionerna

Inledning

1.1 Talsystemets uppbyggnad  1

1.2 Jämförelse av tal  3

1.3 Räkning med tal  4

1.4 Algebra  6

1.5 Likheter och olikheter  9

1.6 Absolutbeloppet av ett reellt tal  13

1.7 Intervall  15

1.8 Potenser  16

1.9 Kort om funktioner  18

1.10 Potensfunktioner  20

1.11 Exponentialfunktioner  21

1.12 Logaritmer  23

1.13 Logaritmfunktioner  26

1.14 Trigonometriska funktioner  27

1.15 Polynomfunktioner  35

Övningar till kapitel 1  42

Kapitel 2.  Ekvationer

Inledning

2.1 Polynomekvationer  50

2.2 Andragradskurvor  54

2.3 Exponential- och logaritmekvationer  60

2.4 Prövning av rötter  63

2.5 Trigonometriska ekvationer  65

2.6 Trigonometriska formler och ekvationer  70

Övningar till kapitel 2  76

Kapitel 3.  Komplexa tal

Inledning

3.1 Presentation av de komplexa talen  79

3.2 Det komplexa talplanet  83

3.3 Komplexa tal i polär form  86

3.4 Komplexa tal i potensform  89

3.5 Tolkning av komplex multiplikation  92

Övningar till kapitel 3  96

Kapitel 4.  Vektorgeometri

Inledning

4.1 Planet och rummet  98

4.2 Avstånd i planet och rummet  100

4.3 Vektorer  104

4.4 Addition och subtraktion av vektorer  107

4.5 Multiplikation av vektor med tal  109

4.6 Längden av en vektor  112

4.7 Linjer i planet  117

4.8 Linjer i rummet  120

4.9 Skalärprodukten  124

4.10 Vektorprodukten  133

4.11 Plan i rummet  137

Övningar till kapitel 4  142

Kapitel 5. Linjära ekvationssystem

Inledning

5.1 Två ekvationer och två obekanta  147

5.2 Två ekvationer och tre obekanta  152

5.3 Tre ekvationer och tre obekanta  154

5.4 Totalmatris  159

5.5 Flera ekvationer och flera obekanta  163

Övningar till kapitel 5  166

Kapitel 6.  Matriser och determinanter

Inledning

6.1 Matriser och matrisprodukt  169

6.2 Matrisräkning  173

6.3 Invers matris och enhetsmatris  175

6.4 Beräkning av invers matris  177

6.5 Determinanter av typ 2 × 2 och 3 × 3  183

6.6 Utveckling av determinant längs rad eller kolonn   186

6.7 Determinanter av typ 4 × 4 och större  188

6.8 Ekvationssystem med lika många ekvationer som obekanta   190

6.9 Egenvärden och egenvektorer  194

Övningar till kapitel 6  199

Kapitel 7.  Funktioner

Inledning

7.1 Funktionsbegreppet  203

7.2 Talföljder  206

7.3 Reella funktioner  209

7.4 Sammansatta funktioner  213

7.5 Monotona funktioner  214

7.6 Inversa funktioner  217

7.7 Arcusfunktioner  221

Övningar till kapitel 7  224

Kapitel 8. Gränsvärden och kontinuitet

Inledning

8.1 Gränsvärde då x går mot ∞  228

8.2 Gränsvärde då x går mot a  234

8.3 Kontinuitet  241

8.4 Rationella funktioner  245

8.5 Gränsvärde av en talföljd då n går mot ∞  248

Övningar till kapitel 8  250

Kapitel 9.  Derivator och differentialer

Inledning

9.1 Derivata och tangentlinjer  253

9.2 Differentialräkning  257

9.3 Derivatans definition  261

9.4 Tidsderivatan som hastighetsmätare  262

9.5 Kedjeregeln  263

9.6 Produktregeln  267

9.7 Kvotregeln  269

9.8 Derivatan av xn för heltal n  271

9.9 Derivatan av de trigonometriska funktionerna  272

9.10 Implicit derivering  275

9.11 Derivatan av inversfunktionen  277

9.12 Derivatan av ex och ln x  280

9.13 Derivatan av ax och xa  282

9.14 Logaritmisk derivering  284

9.15 Feluppskattningar  285

Övningar till kapitel 9  287

Kapitel 10.  Primitiva funktioner

Inledning

10.1 Antiderivatan  292

10.2 Partiell integration  300

10.3 Variabelsubstitution  303

10.4 Integraler av rationella funktioner  309

Övningar till kapitel 10  317

Kapitel 11. Bestämda integraler

Inledning

11.1 Områden begränsade av linjer  319

11.2 Trappstegsfunktioner  321

11.3 Definition av bestämd integral  325

11.4 Integralkalkylens medelvärdessats  330

11.5 Integralkalkylens huvudsats  331

11.6 Fler bestämda integraler  336

11.7 Generaliserade integraler  341

Övningar till kapitel 11  346

Kapitel 12. Tillämpningar av derivatan

Inledning

12.1 Differentialkalkylens medelvärdessats  349

12.2 Högre derivator och acceleration  351

12.3 Extrempunkter  353

12.4 Grafritning  362

12.5 Optimering  364

Övningar till kapitel 12  366

Kapitel 13. Tillämpningar av integralen

Inledning

13.1 Integralen av differentialen  369

13.2 Rotationsvolymer  375

13.3 Dubbelintegraler  380

13.4 Kurvor och båglängd  388

13.5 Kurvintegraler och arbete  391

13.6 Härledning av ekvationer med derivator  394

Övningar till kapitel 13  396

Kapitel 14. Differentialekvationer

Inledning

14.1 Ekvationer med derivator  399

14.2 Allmän och partikulär lösning  402

14.3 Olika typer av differentialekvationer  405

14.4 Separabla differentialekvationer  406

14.5 Linjära differentialekvationer av första ordningen   410

14.6 Homogena linjära differentialekvationer av

andra ordningen med konstanta koefficienter   415

14.7 Inhomogena linjära differentialekvationer av

andra ordningen med konstanta koefficienter   420

14.8 Differentialekvationer av högre ordning

med konstanta koefficienter  428

14.9 Svängningsekvationer  430

14.10 System av differentialekvationer  435

Övningar till kapitel 14  441

Kapitel 15. Serier

Inledning

15.1 Allmänt om serier  448

15.2 Harmoniska serien och andra p-serier  451

15.3 Jämförelse av positiva serier  454

15.4 Geometriska serier och kvotkriteriet  456

15.5 Absolutkonvergens och alternerande serier  462

15.6 Potensserier  464

15.7 Approximation av funktionen y = sin x  466

15.8 Maclaurinserier för elementära funktioner  469

15.9 L’Hospitals regel  476

Övningar till kapitel 15  479

Kapitel 16. Analys i flera variabler

Inledning

16.1 Lutningar i ett plan  482

16.2 Tangentplan och partiella derivator  485

16.3 Differentialer  488

16.4 Nivåkurvor  492

16.5 Optimering av flervariabelfunktioner  496

16.6 Optimering med bivillkor  498

Övningar till kapitel 16  501

Svar till testproblem  505

Svar till övningar  521

Appendix  551

Index  557