Reglerteknik

 

 

 

1   Vad är reglerteknik? 9

1.1 Att få system att uppföra sig som man vill  . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2 Exempel på reglerteknikens användning   . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3 Reglerproblemet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.4 Reglerprinciper  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.5 Principer för återkoppling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.6 PID-regulatorer  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.7 Boken i sammandrag  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

 

2   Differentialekvationer (Matematiska modeller I)  23

2.1 Differentialekvationer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.2 Överföringsfunktion,  poler och nollställen . . . . . . . . . . . . . . 28

2.3 Viktfunktionen  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.4 Lösning av differentialekvationer  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.5 Stabilitet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.6 Samband mellan tidssvar och polplacering   . . . . . . . . . . . . . . 35

2.7 Blockschemarepresentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.8 Tidsfördröjningar  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.9 Exempel på överföringsfunktioner   . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

 

3   Återkopplade system (Syntes I)  49

3.1 Inledning  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.2 Reglering av nivån i en tank  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.3 PID-regulatorer  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.4 Inverkan av återkoppling på olinjäriteter . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.5 Det återkopplade systemet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.6 Specifikationer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.7 Rotort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.8 Nyquistkriteriet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

 

4   Frekvensbeskrivning (Matematiska  modeller II)  81

4.1 Superposition  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

4.2 Frekvenssvar och frekvensfunktion  . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

4.3 Bodediagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

 

5   Kompensering (Syntes II)  93

5.1 Inledning  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

5.2 Kretsförstärkning och stabilitet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

5.3 Specifikationer i frekvensplanet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

5.4 Kompensering med hjälp av bodediagram  . . . . . . . . . . . . . .  105

5.5 Tidsfördröjningar och bodediagram . . . . . . . . . . . . . . . . .  116

5.6 Nollställen och icke-minfassystem  . . . . . . . . . . . . . . . . . .  116

 

6   Prestandagränser, känslighet och robusthet 121

6.1 Inledning  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  121

6.2 Varför kan inte känslighetsfunktionen bli godtyckligt liten? . . . . .  121

6.3 Robusthet gentemot instabilitet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  124

6.4 Modellfel och känslighetsfunktionen  . . . . . . . . . . . . . . . . .  125

6.5 En allmän linjär återkoppling  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  126

 

7   Regulatorstrukturer 137

7.1 Inledning  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  137

7.2 Kaskadreglering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  137

7.3 Framkoppling  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  142

7.4 Smith-prediktorn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  147

 

8   Tillståndsbeskrivning (Matematiska modeller III) 149

8.1 Begreppet tillstånd  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  149

8.2 Tillstånd för linjära differentialekvationer . . . . . . . . . . . . . .  149

8.3 Linjära system på tillståndsform . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  151

8.4 Att sätta upp tillståndsbeskrivningen för ett system . . . . . . . . .  153

8.5 Linjärisering av olinjär tillståndsmodell . . . . . . . . . . . . . . .  155

8.6 Att gå från överföringsfunktion till tillståndsform . . . . . . . . . .  157

8.7 Att gå från tillståndsrepresentation till överföringsfunktion . . . . .  163

8.8 Lösning av tillståndsekvationerna    . . . . . . . . . . . . . . . . . .  164

8.9 Stabilitet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  169

8.10 Minimal realisation, styrbarhet och observerbarhet   . . . . . . . . .  170

 

9   Tillståndsåterkoppling (Syntes III) 179

9.1 Modifiering av ett systems dynamik genom tillståndsåterkoppling .  179

9.2 Var skall man placera polerna?  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  186

9.3 Optimering av kvadratiska kriterier . . . . . . . . . . . . . . . . . .  189

9.4 Rekonstruktion av tillstånd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  193

9.5 Återkoppling från rekonstruerade tillstånd . . . . . . . . . . . . . .  201

9.6 Tillståndsåterkoppling  och konstanta störningar . . . . . . . . . . .  206

 

10 Förstärkningsinlärning 209

10.1 Inledning  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  209

10.2 Linjärkvadratisk reglering i diskret tid  . . . . . . . . . . . . . . . .  210

10.3 Förstärkningsinlärning   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  212

 

11 Implementering 221

11.1 Datorimplementerade regulatorer . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  222

11.2 Tidsdiskreta varianter av regleralgoritmen   . . . . . . . . . . . . . .  223

11.3 Val av samplingsintervall och förfilter  . . . . . . . . . . . . . . . .  229

11.4 Digital implementering  av en PI-regulator . . . . . . . . . . . . . .  234

 

12 Tillbakablick 237

12.1 Reglerproblemet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  237

12.2 Modellbygge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  238

12.3 Specifikationer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  239

12.4 Analys . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  242

12.5 Syntes  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  242

 

A  Matematiska grunder 245

A.1  Differentialekvationer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  245

A.2  Laplacetransformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  246

A.3  Argumentvariationsprincipen  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  248

A.4  Matriser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  249

 

Litteratur 253

 

Sakregister 255