Grundlig matematik

Förord   i

1 Till studenter   i

1.1 Matematiken som skolämne   i

2 Bokens upplägg   iii

2.1 Hur denna bok är tänkt att läsas   iii

2.2 Beteckningar och symboler i texten   iv

3 Till lärare   v

3.1 Vanliga missförstånd och kunskapsluckor   v

3.2 Kommentarer till kapitlen   viii

4 Förord till andra upplagan   xiv

 

1 Logik, mängdlära och lite om matematiken som sådan    1

1.1 Matematik   1

1.1.1 Lite om matematikens historia   1

1.1.2 Matematikens uppbyggnad   2

1.1.3 Matematisk kommunikation   4

1.2 Logik   6

1.2.1 Utsagor   6

1.2.2 Konnektiv   6

1.2.3 Ekvivalens och implikation   8

1.3 Mängdlära   11

1.3.1 Mängdoperationer   12

1.3.2 Disjunkta mängder och delmängder   14

1.4 Övningar   16

 

2 Tal   21

2.1 Talmängder   21

2.1.1 Naturliga tal   21

2.1.2 Rationella tal   22

2.1.3 Icke-rationella tal   23

2.1.4 Negativa tal   24

2.1.5 Komplexa tal   24

2.1.6 Talmängdernas standardbeteckningar   24

2.1.7 Intervall   25

2.1.8 Vilken talmängd handlar det om?   28

2.2 Talrepresentation   28

2.2.1 Tallinjerepresentation   28

2.2.2 Naturliga tal   29

2.2.3 Decimaltal   30

2.2.4 Exakt och approximativ räkning   31

2.3 Några formella bevis   32

2.4 Övningar   35

 

3 Räkning med tal   39

3.1 Räkning och regler   39

3.1.1 Räkneregler   39

3.1.2 Prioritetsregler   39

3.1.3 Likhetsbegreppet   40

3.2 De fyra räknesätten – definitioner och terminologi    40

3.2.1 Addition   41

3.2.2 Subtraktion   43

3.2.3 Multiplikation   44

3.2.4 Division   46

3.2.5 Talen noll och ett   48

3.2.6 Prioritetsregler för de fyra räknesätten    49

3.3 Sifferräkning   50

3.3.1 Beräkningar i det decimala talsystemet   50

3.4 Bråkräkning   54

3.4.1 Definition och tolkning   54

3.4.2 Grafisk representation   55

3.4.3 Räkneregler   56

3.4.4 Bråk på olika former   61

3.5 Övningar   64

 

4 Koordinatsystem och funktioner   71

4.1 Variabler och obekanta   71

4.1.1 Variabler och konstanter   71

4.1.2 Obekanta   71

4.2 Koordinatsystem   72

4.2.1 Lägen   72

4.2.2 Samband   73

4.3 Funktioner   75

4.3.1 Det generella funktionsbegreppet   75

4.3.2 Funktioner på talmängder   77

4.3.3 Formler   78

4.4 Grafer   79

4.4.1 Grafritning    80

4.5 Definitions- och värdemängder   82

4.5.1 Definitionsmängder   82

4.5.2 Värdemängder   84

4.6 Sammansatta funktioner   85

4.6.1 Transformationer   87

4.7 Den räta linjen   91

4.8 Övningar   96

 

5 Potenser   103

5.1 Potensbegreppet   103

5.1.1 Utveckling av potensbegreppet   103

5.1.2 Sammanfattning av potensbegreppet   107

5.2 Rötter   109

5.3 Potens- och exponentialfunktioner   111

5.3.1 Potensfunktioner   111

5.3.2 Exponentialfunktioner   113

5.4 Övningar   116

 

6 Distributiva lagen med tillämpningar   121

6.1 Distributiva lagen   121

6.1.1 Specialfall av distributiva lagen: kvadreringsreglerna och konjugatregeln   124

6.2 Andragradsuttryck   126

6.2.1 Omskrivningar av andragradsuttryck i en variabel    126

6.2.2 Andragradskurvor   131

6.3 Övningar   136

 

7 Polynom   143

7.1 Grundläggande definitioner   143

7.1.1 Grafer för polynom   145

7.2 Räkning med polynom   146

7.2.1 Addition, subtraktion och multiplikation    147

7.2.2 Division   148

7.3 Faktorisering   152

7.3.1 Faktorer och nollställen   152

7.3.2 Faktorer och koefficienter   155

7.4 Rationella uttryck   158

7.5 Komplex polynomräkning   161

7.5.1 Reella koefficienter och komplexa nollställen   162

7.6 Övningar   166

 

8 Ekvationer   173

8.1 Grundläggande begrepp   173

8.1.1 Grafiskt studium av ekvationer   174

8.1.2 Analytiskt och numerisk ekvationslösning    175

8.2 Grundläggande analytisk lösningsteknik   176

8.3 Några användbara lösningsmetoder   179

8.3.1 Inspektion och testning   179

8.3.2 Faktorisering   179

8.3.3 Bråkuttryck   182

8.3.4 Substitution   183

8.3.5 Operationer med restriktioner och icke omvändbara operationer   185

8.4 Flera ekvationer   188

8.4.1 Ekvationssystem   188

8.4.2 Bivillkor   189

8.5 Övningar   190

 

9 Olikheter   197

9.1 Grundläggande begrepp   197

9.1.1 Begreppen större än och mindre än   198

9.1.2 Räkneregler för olikheter   199

9.2 Analys av olikhetsproblem med hjälp av faktorisering    200

9.3 Övningar   208

 

10 Absolutbelopp   211

10.1 Absolutbeloppets definition och innebörd    211

10.1.1 Absolutbeloppets innebörd   212

10.1.2 Räkneregler för absolutbelopp   213

10.2 Grafer för funktioner med absolutbelopp   214

10.3 Räkning med absolutbelopp   218

10.3.1 Ekvationer innehållande absolutbelopp   219

10.4 Övningar   224

 

11 Logaritmer   229

11.1 10-logaritmer   229

11.1.1 Räkneregler för 10-logaritmer   231

11.2 Logaritmer generellt   234

11.2.1 Vanliga baser för logaritmer   235

11.2.2 Basbyten för exponential- och logaritmfunktioner   235

11.2.3 Logaritmfunktioner   237

11.2.4 Logaritmekvationer   238

11.3 Logaritmiska skalor   241

11.3.1 Koordinatsystem   241

11.3.2 Tiopotensform och prefix   241

11.4 Övningar   243

 

12 Trigonometri   251

12.1 Geometriska grundbegrepp   251

12.1.1 Längd, area och volym   251

12.1.2 Vinklar och vinkelenheter   252

12.1.3 Trianglar   254

12.2 Trigonometriska grundbegrepp   259

12.2.1 Bestämning av trigonometriska värden   260

12.3 Geometriska tillämpningar   264

12.3.1 Rätvinkliga trianglar   265

12.3.2 Godtyckliga trianglar   266

12.4 Funktioner och samband   271

12.4.1 Funktioner   271

12.4.2 Samband   275

12.5 Ekvationer   286

12.5.1 Grundläggande ekvationer   286

12.5.2 Tillämpning av vanliga ekvationslösningsmetoder   288

12.6 Övningar   294

 

13 Komplexa tal   309

13.1 Bakgrund och definitioner   309

13.1.1 Komplexa talplanet   310

13.2 Räkning med komplexa tal   312

13.2.1 De fyra räknesätten   312

13.2.2 Komplext konjugat   314

13.2.3 Belopp   316

13.3 Polär form   318

13.3.1 Omräkning till och från polär form   319

13.3.2 Räkning på polär form   322

13.3.3 Alternativ notation för polär form   324

13.4 Ekvationslösning   326

13.4.1 Ekvationer och olikheter med komplexa tal    326

13.4.2 Polynomekvationer   329

13.5 Övningar   335

 

A Facit   341

Kapitel 1   341

Kapitel 2   343

Kapitel 3   346

Kapitel 4   350

Kapitel 5   355

Kapitel 6   357

Kapitel 7   361

Kapitel 8   365

Kapitel 9   369

Kapitel 10   371

Kapitel 11   373

Kapitel 12   377

Kapitel 13   386

 

Sakregister   391