Flervariabelanalys för teknisk högskola

Funktioner av flera variabler 1

Definition av begreppet ”funktion” 1

Funktionsgrafer och nivåkurvor 3

Rummet Rn 6

Topologi i Rn 9

Begreppet ”gränsvärde då x går mot a” 14

Begreppet ”gränsvärde då ||x|| går mot oändligheten” 17

Kontinuitet 17

Differentialkalkyl i flera variabler 23

Partiella derivator 23

Differentierbarhet 30

Sammansatta funktioners derivator. Kedjeregeln 33

Riktningsderivata 43

Tangentplan 47

Funktionalmatris och funktionaldeterminant 50

Beteckningar för partiella derivator 55

Differentialer 59

Taylors formel 63

Extremvärdesproblem 71

Lokala maxima och minima 71

Största och minsta värde 80

Extremvärdesproblem med bivillkor 85

Integralkalkyl i flera variabler 99

Några grundläggande begrepp 99

Dubbelintegralens definition 100

Räkneregler för dubbelintegraler 103

Beräkning av dubbelintegraler 105

Masscentrum 109

Rymdkurvor och ytor på parameterform 111

Arean av en buktig yta 117

Ytintegraler 121

Variabelsubstitution i dubbelintegraler 125

Generaliserade dubbelintegraler 134

Trippelintegraler 145

Derivering under integraltecken 160

Kurvintegraler 169

Båglängdsintegraler 169

Kurvintegralens definition 171

Räkneregler för kurvintegraler 174

Greens formel 180

Exakta differentialformer 189

Exakta differentialekvationer i R² 200

Integralkalkyl för vektorfält 207

Vektorfält 207

Divergens och rotation 211

Normalytintegraler 221

Stokes sats 229

Gauss divergenssats 239

Kontinuitetsekvationen 251

Krökning. Torsion 259

Krökning 259

Oskulerande plan 265

Torsion. Frenets formler 269

Appendix 275

Några elementära funktioners primitiver 275

Några viktiga integrationsmetoder för enkelintegraler 276

Några vanligt förekommande bestämda enkelintegraler 279

Kvadratkomplettering 281

Integration av rationella funktioner 284

Kägelsnitt 287

Svar till testuppgifter 295

Övningsuppgifter 307

Svar till övningsuppgifter 345

Index (sakregister) 375